Teorema de Taylor
Caso de una variable
Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante unpolinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:1
O en forma compacta
Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionan a continuación:
Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.
Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas funciones analíticas.
El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.
[editar]Caso de varias variables
El teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :
Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:
para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores (véase la demostración para los detalles).
[editar]Demostración
Para demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional, considérese un función o campo escalar, que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalización es trivial), de clase . Sear(t) una función vectorial que va de , y definamosla cómo (de ahora en adelante,vse omitirán las flechas de los vectores).Pongamos r(t) = y Ahora hagamos g(t) = f[r(t)] y recordemos que . Notemos ahora que:
Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner de forma muy cómoda:
donde el exponente sobre el gradiente es entendido cómo las sucesivas veces que hacemos el gradiente; es decir,hacemos el producto escalar que está dentro del paréntesis,luego volvemos a derivar otra vez la función, obteniendo otro producto escalar, y así "n" veces. Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable real, expandimos g(t) en su serie de McLaurin: y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones antes hallada se evidencia que: Obsérvese que el primer término aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notación particular que resulta más cómodo y compacto. La expresión obtenida es equivalente a la expresada más arriba mediante la notación multiíndice.
[editar]Demostración
La demostración de la fórmula (1a), con el resto de la forma (2a), se sigue trivialmente del teorema de Rolle aplicado a la función:
Un cálculo rutinario permite ver la derivada de esta función cumple que:
Se define ahora la función G como:
Es evidente que esta función cumple , y al ser esta función diferenciable, por el teorema de Rolle se sigue que:
Y como:
Se obtiene finalmente que:
Y substituyendo en esta fórmula la definición de F(a), queda precisamente la fórmula (1a) con la forma del resto (2a).
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